Persamaan Diferensial : Sebuah Pendahuluan

Persamaan diferensial (Differential equation – DE) dapat dimanfaatkan untuk menjelaskan hampir semua fenomena yang kita temui dalam kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh, telepon genggam yang kita pakai. Sinyal telepon genggam yang merupakan media transmisi kita dalam mengirim dan menerima informasi, berawal dari persamaan diferensial. Menjelaskan bagaimana planet di tata surya beredar di orbitnya mengelilingi matahari. Atau mengetahui bagaimana berita hoax menyebar di jejaring sosial. Bahkan untuk memahami tingkat penyerapan vitamin C di tubuh kita untuk membantu menangkal dari penyakit atau memahami cepatnya virus influenza penyakit menyebar. Itulah beberapa contoh manfaat persamaan diferensial. Saintis dan insinyur melihat dunia melalui persamaan diferensial. Karena fenomena ilmiah harus terukur dan dijelaskan.

Persamaan diferensial dapat digolongkan menjadi dua yaitu :

• Persamaan diferensial biasa (Ordinary Differential Equation – ODE) : berkisar hanya pada satu peubah, contoh
  

  • Persamaan Gerak Berubah Beraturan
    

  $v=\dfrac{d^2x}{dt^2}t + v_0$

Persamaan diferensial parsial (Partial Differential Equation – PDE) : berkisar pada beberapa peubah, contoh

• Persamaan Kontinuitas Navier-Stokes

  $\dfrac{\partial \rho}{\partial t}+\dfrac{\partial \rho u}{\partial x}+\dfrac{\partial \rho v}{\partial y}+\dfrac{\partial \rho w}{\partial z}=0$

Definisi 1

The order of a *DE is the highest $n$ such that the $n^{th}$ derivative of the function appears*

Kita akan fokus pada ODE. Orde ODE ditentukan dari turunan paling tinggi dari fungsi $y(t)$ :

• orde 1 $\Rightarrow \ \ \ \dot{y} \ \ \ \ y' \ \ \ \ \dfrac{dy}{dt}$
• orde 2 $\Rightarrow \ \ \ \ \ddot{y} \ \ \ \ y'' \ \ \ \ \dfrac{d^2y}{dt^2}$
• orde 3 $\Rightarrow \ \ \ \dddot{y} \ \ \ \ y''' \ \ \ \ \dfrac{d^3y}{dt^3} \\ \vdots$
• orde $n$ $\Rightarrow \ \ \ \ y^{(n)} \ \ \ \ \dfrac{d^ny}{dt^n}$

Notasi dot $\dot{y}$ hanya digunakan untuk turunan terhadap waktu. Jika kita memiliki fungsi dengan peubah spasial $y(x)$, maka notasi yang digunakan untuk menuliskan turunannya adalah notasi $y'$ atau $\dfrac{dy}{dx}$.

Persamaan ODE memiliki beberapa terminologi di antaranya adalah homogeneous linear ODE dan inhomogeneous linear ODE.

1. Persamaan diferensial homogen yang linear merupakan sebuah persamaan diferensial seperti

   $e^{t} \ddot{y} + 5\dot{y}+t^{9}y=0$

   di mana tiap suku $y$, $\dot{y}$, $\ddot{y}$, $\dotsc$ memiliki fungsi $t$. Sehingga kita memiliki bentuk umum dari homogenous linear ODE sebagai berikut :

   $p_{n}(t)y^{(n)}+p_{n-1}(t)y^{(n-1)}+\dotsb + p_{1}(t)\dot{y} + p_{0}(t)y=0$

   untuk suatu fungsi $p_{n}(t), \dotsc , p_0 (t)$ yang kemudian kita sebut sebagai koefisien.

2. Persamaan non-homogen yang linear hampir sama dengan persamaan homogen, namun memiliki suku fungsi $t$ yang tidak terikita dengan fungsi $y$, contoh

   $e^{t}\ddot{y}+5\dot{y}+t^{9}y=7\sin t$

   Sehingga kita memiliki bentuk umum dari homogenous linear ODE sebagai berikut :

   $p_{n}(t)y^{(n)}+p_{n-1}(t)y^{(n-1)}+\dotsb + p_{1}(t)\dot{y} + p_{0}(t)y=q(t)$

3. Kedua jenis persamaan di atas termasuk persamaan linier karena fungsi $y$ memiliki pangkat 1. Jika memiliki pangkat bukan 1 seperti ungsi $\ddot{y}^2$, maka bukan termasuk persamaan linier.

4. Baik persamaan homogenous dan inhomogenus, dapat diubah ke bentuk standar (standard linear form) dengan membagi semua suku dengan koefisien turunan tertinggi, sehingga suku dengan turunan tertingi memiliki koefision bernilai 1,

   $y^{(n)}+\dfrac{p_{n-1}(t)}{p_{n}(t)}y^{(n-1)}+\dotsb + \dfrac{p_{1}(t)}{p_{n}(t)}\dot{y} + \dfrac{p_{0}(t)}{p_{n}(t)}y=0$

   atau

   $y^{(n)}+\dfrac{p_{n-1}(t)}{p_{n}(t)}y^{(n-1)}+\dotsb + \dfrac{p_{1}(t)}{p_{n}(t)}\dot{y} + \dfrac{p_{0}(t)}{p_{n}(t)}y=\dfrac{q{t}}{p_{n}(t)}$

---

Koreksi saya bila salah,
Salam hangat,

Tirtadwipa Manunggal
tirtadwipa.manunggal@gmail.com

---